Livraison express en centre-ville

Morgane travaille comme planificatrice pour une entreprise de livraisons à vélo. Un livreur commence sa tournée depuis le dépôt situé au point \(O(0 ; 0)\). Il doit effectuer 4 livraisons express puis revenir au dépôt avant 14 h 00. Il part à 13 h 15 et roule à une vitesse moyenne constante dr 15 km/h.

Chaque déplacement est représenté par un vecteur dont les coordonnées sont les suivantes :

• livraison 1 :  \(\overrightarrow{OA}(4;2)\)
• livraison 2 : \(\overrightarrow{AB}(0;3)\)
• livraison 3 : \(\overrightarrow{BC}(-5;0)\)
• livraison 4 : \(\overrightarrow{CD}(2;-3)\)

1 unité = 1 km.

Problématique : après tous ses déplacements, le livreur arrivera-t-il à 14 h 00 au dépôt ?

1. Préciser où se situe le livreur au point de départ sur le plan. Placer ce point sur une feuille vierge GeoGebra.

2. Placer les vecteurs \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{CD}\) .

Coup de pouce 1 : une perle est là pour vous aider à tracer des vecteurs !

3. Où se situe le livreur à la fin de ses 4 livraisons ? Donner les coordonnées du point d'arrivée.

4. Calculer la somme de :

a. \(\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{AB}\)

b. \(\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC}\)

c. \(\overrightarrow{BC} +\overrightarrow{CD}\)

Coup de pouce 2 : une perle est là pour vous aider à calculer la somme de deux vecteurs !

5. En déduire la somme des vecteurs : \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\).

6. a. Lire sur le plan les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{OD}\).

Coup de pouce 3 : Une perle est là pour vous aider si besoin !

b. Vérifier  les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{OD}\) par le calcul.

Coup de pouce 4 : une perle est là pour vous aider si besoin !

7. Quel est le nom du vecteur qui représente le retour au dépôt ? Donner ses coordonnées.

8. Calculer la norme des vecteurs : \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{CD}\) et \(\overrightarrow{OD}\).

Coup de pouce 5 : une perle est là pour vous aider si besoin !

9. En déduire la distance parcourue en km par le livreur depuis le départ du dépôt jusqu'à son retour.

10. À partir de la formule \(\text{vitesse} = \frac{\text{distance}}{\text{temps}}\), calculer la durée totale de déplacement du livreur.

11. En déduire l'heure à laquelle le livreur arrivera à son point de départ.

12. Répondre à la problématique.